2024 年青岛市高一数学强基计划选拔试题¶

1. 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle BAC=90^\circ\)，\(AB=AC\)，\(E\) 为 \(AC\) 边上一点，连接 \(BE\)，以 \(AB\) 为直径的圆分别交 \(BC,BE\) 于 \(D,H\) 两点，连接 \(DH\)，设 \(\angle ABE=\alpha\)，则 \(DH/DC=\)

   

   A	B	C	D
   \(1-\tan\alpha\)	\(\cos\alpha-\sin\alpha\)	\(\tan\alpha-\sin\alpha\)	\(1-\cos\alpha\)

   答案：B，解析如下，

   连接 \(AD\)，由直径所对圆周角为直角、等边三角形判定可得，\(\angle BAD=45^\circ\)。

   由同弧所对圆周角相等，得 \(\angle BHD=\angle BAD=45^\circ\)。

   因为 \(\angle BHD=\angle ACB=45^\circ\)，加上同角 \(\angle CBE\)，得 \(\triangle BDH\backsim\triangle BCE\)。

   

   那么，

   \[ \begin{aligned} DH/DC&=DH/BD\\ &=CE/BE\\ &=\sqrt2\cdot EQ/BE\\ &=\sqrt2\sin(45^\circ-\alpha)\\ &=\cos\alpha-\sin\alpha \end{aligned} \]

   因此，B 正确。

2. 如图，正方形 \(ABCD\) 的顶点 \(C,D\) 在函数 \(y=\dfrac{k}{x}(k\neq0)\) 的图像上，已知点 \(A\) 的坐标为 \(\left(-\dfrac72,3\right)\)，点 \(C\) 的横坐标为 \(4\)，则 \(k\) 的值为

   

   A	B	C	D
   \(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)

   答案：B，解析如下，

   设点 \(C\) 坐标为 \((4,k/4)\)，点 \(D\) 坐标为 \((t,k/t)\)，根据 \(\overrightarrow{AD}\) 和 \(\overrightarrow{DC}\) 的关系，列出方程：

   \[ \begin{cases} \dfrac{k}{t}-3&=4-t\\ t+\dfrac72&=\dfrac kt-\dfrac k4 \end{cases} \]

   注意到 \(t>1\)，因此两边同时乘以 \(t\) 去掉分母：

   \[ \begin{cases} k-3t&=4t-t^2\\ 4t^2+14t&=(4-t)k \end{cases} \]

   注意到只有关于 \(k\) 的是一次的，因此选 \(k\) 为主元，化简：

   \[ \begin{cases} k&=7t-t^2\\ k&=\dfrac{4t^2+14t}{4-t} \end{cases} \]

   我们把这两个等式看做函数，以 \(t\) 为自变量，\(k\) 为因变量。

   那么结果一定是函数图像的交点，而且要求 \(k>0,0<t<4\)，我们直接另两等式右侧相等。

   \[ \begin{cases} 7t-t^2&=\dfrac{4t^2+14t}{4-t}\\ (7t-t^2)(4-t)&=4t^2+14t\\ t^3-15t^2+14t&=0 \end{cases} \]

   首先注意到 \(t=1\) 一定是方程的一组解，我们考虑证明结果的唯一性。

   注意到 \(k\) 是常量，因此点 \(C\) 的位置是固定的，那么我们作出 \(AC\) 的中垂线，与图像交点一定是 \(D\)，这的确是唯一的。

3. 已知 \(a,b,c\) 满足不等式 \(a^2+b^2+c^2+43\le ab+9b+8c\)，则 \(a,b,c\) 分别等于 \(\underline{\kern{5em}}\)。

   答案：\(a=3,b=6,c=4\)，解析如下，

   考虑配方。

   \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2+43-ab-9b-8c&\le0\\ (a^2+\dfrac14b^2-ab)+\dfrac34(b^2-12b+36)+(c^2-8c+16)&\le0\\ (a-\dfrac12b)^2+(b-6)^2+(c-4)^4&\le0 \end{aligned} \]

   因此，

   \[ \begin{cases} a&=\dfrac12b=3\\ b&=6\\ c&=4 \end{cases} \]

   即 \(a=3,b=6,c=4\)。

4. （本题 14 分）

   已知实数 \(a,b,c,m,n\) 满足 \(3m+n=\dfrac ba,mn=\dfrac ca\)。

   （1）求证：\(b^2-12ac\) 为非负数。

   （2）若 \(a,b,c\) 均为奇数，\(m,n\) 是否可以都为整数？

   答案：解析如下，

   （1）注意到形式类似韦达定理、根的判别式 \(\Delta\)，考虑构造一元二次方程。

   \[ ax^2-bx+3c=0 \]

   两根分别为 \(x_1=3m,x_2=n\)，因为 \(m,n\in\mathbb R\)，则 \(\Delta=b^2-12ac\ge0\)。

   （2）注意到可以通过韦达定理得出的形式，讨论 \(m,n\) 的奇偶性证明。

   假设 \(m,n\in\mathbb Z\)，则 \(3m+n,mn\in\mathbb Z\)，则 \(a\mid b,c\)。

   注意到 \(a,b,c\) 为奇数，易得 \(\dfrac ba,\dfrac ca\) 也都是奇数，则 \(3m+n,mn\) 也都是奇数。

   证明：质因数分解后，分子分母指数相减，\(2\) 的指数依然为 \(0\)，即一定是奇数。

   根据 \(mn\) 是奇数，\(n,m\) 一定都是奇数，那么 \(3m+n\) 一定是偶数，与事实不符。

   即，一定有 \(m,n\) 不可以都为整数。

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