根式¶
注：下文只讨论自然数 \(\mathbb N\) 中的。
公式¶
\[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2} \]
注：只有 \(a^2-b\) 是完全平方数的时候，才能开出来。
例题¶
化简 \(\sqrt{4+\sqrt9}\)。
解：
\[ \begin{aligned} &\sqrt{4+\sqrt9}\\ =\;&\sqrt{4+\sqrt7\over2}+\sqrt{4-\sqrt7\over2}\\ =\;&{1\over\sqrt2}(\sqrt{4+\sqrt7}+\sqrt{4 -\sqrt7})\\ =\;&{1\over\sqrt2}(\sqrt{7\over2}+\sqrt{7\over2}+\sqrt{7\over2}-\sqrt{7\over2})\\ =\;&{2\over\sqrt2}\sqrt{7\over2}=\sqrt7 \end{aligned} \]
有人问，为什么不直接把 \(\sqrt9\) 化成 \(3\)，因为我想多演示一遍，但是懒得再出一道题。
推导¶
我们设 \(\sqrt{a+\sqrt{b}}\) 化简完的结果是 \(\sqrt x+\sqrt y\)：
\[ \begin{aligned} \sqrt{a+\sqrt{b}}&=\sqrt x+\sqrt y\\ a+\sqrt{b}&=x+y+2\sqrt{xy} \end{aligned} \]
因为 \(a\) 外面没有根号，与 \(x+y\) 相对应：
\[ \left\{\begin{aligned} a&=x+y\\ \sqrt{b}&=2\sqrt{xy} \end{aligned}\right. \]
然后我们把下面的式子平方，可以写出方程组：
\[ \left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ xy&={b\over4} \end{aligned}\right. \]
然后用公式：
\[ \left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ x-y&=\sqrt{(x+y)^2-4xy}\\ &=\sqrt{a^2-b} \end{aligned}\right. \]
PS：此时有一个初中不学（我们没学）的方法，
设 \(t\) 满足：
\[ \begin{aligned} (t-x)(t-y)&=0\\ t^2-(x+y)t+xy&=0 \end{aligned} \]
解这个方程，得到的 \(t\) 的两个根分别就是 \(x\) 和 \(y\)。
具体的：
\[ \begin{aligned} t^2-at+{b\over4}=0\\ t={a\pm\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned} \]
解得：
\[ \left\{\begin{aligned} x&={a+\sqrt{a^2-b}\over2}\\ y&={a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}\right. \]
因此：
\[ \begin{aligned} &\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt x+\sqrt y\\ =\;&\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned} \]
减法同理。
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